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Paper Code : B030502T
B.Sc. ( Fifth Semester ) Examination, 2024-25
Mathematics
( Differential Geometry & Tensor Analysis )
Time : 2 Hours M.M : 75
1.This Question paper consists of three sections- A,B and C. Attempt questions from all sections as directed.
2. The candidates are required to answer only in serial order. If there are many parts of a question, answer them in continuation.
Section – A
Short Answer Type Questions
किन्ही चार प्रश्नों के उत्तर दीजिए। निम्नलिखित प्रश्नों का लघु उत्तरीय प्रश्न के रूप में दें प्रत्येक प्रश्न 6.25 अंक का है।
Attempt any four questions answer the following questions as short answer type question each questions carries 6.25 marks.
1. (A) हेलिक्स पर किसी भी बिंदु पर दोलनशील तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
x = a cost, y = asint, z = ct
Find the equation of osculating plane at any point t on the helix
x = a cost, y = asint, z = ct
(B) अंतरिक्ष वक्र की स्पर्श रेखा, सामान्य और द्वीपदीय को परिभाषित करें।
Define tangent, normal and binormal of the space curve.
(C) प्रथम मौलिक रूप या मैट्रिक सतह से आपका क्या तात्पर्य है स्पष्ट करें।
What do you mean by first fundamental form or Matric surface. explain it.
(D) दिखाएं की वक्र u + v = स्थिरंक मीट्रिक वाली सतह पर एक जियो डिसिस्क्स है।
( 1 + u2 )du2 – 2uv du dv + ( 1 + v2 ) dv2
So that the curve u + v = constant is a geodesics on a surface with metric
( 1 + u2 )du2 – 2uv du dv + ( 1 + v2 ) dv2
(E) गौस बोनट की प्रमेय का विवरण दीजिए।इस उदाहरण सहित समझाइए।
Give the statement of Gauss bonnet theorem explain it with an example.
(F) टेंसर को परिभाषित करें और इसकी तुलना वेक्टर से करें।
Define tensor and compare it with vector.
(G) प्रथम प्रकार एवं द्वितीय प्रकार के क्रिस्टोफेल की व्याख्या करें।
Explain Christoffel symbol of first kind and second kind.
(I) रिमैनियन स्पेस और यूक्लीडीयन स्पेस में क्या अंतर है?
What is difference of Riemannion space and euclidal space
BSc 5th Semester Question papers
Section – A
Long Answer Type Questions
किन्ही दो प्रश्नों के उत्तर दे प्रत्येक प्रश्न 12.5 अंक का है।
Attempt any two question each question carries 12.5 marks
2. तीन सिरेंट फ्रेंट सूत्र प्राप्त करें।
dt/ds = ±kn , db/ds = ± tn एवम dn/ds = tb-kt
जहां t = स्पर्श रेखा वेक्टर यूनिट
b = द्वीसामान्य
n = सामान्य वेक्टर
k = वक्रता कार्यकाल
T = आघूर्ण कार्यकाल
Derive the three Serret formula.
Where t = unit tangent vector
b = binormal
n = normal vector
k = curvature tensor
t = torsion tensor
3. द्वितीय मौलिक स्वरूप Ldu2 + 2mdudv + Ndv2 की ज्यामितीय व्याख्या प्रमाण सहित करें।
Explain the geometrical interpretation of the second fundamental form
Ldu2 + 2mdudv + Ndv2 with proof.
4. यूलर के प्रमेय का उल्लेख करते हुए सिद्ध करें।
State and prove euler’s theorem.
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Section – A
Long Answer Type Questions
किन्ही दो प्रश्नों के उत्तर दे प्रत्येक प्रश्न 12.5 अंक का है।
Attempt any two questions. Each question carries 12.5 marks.
5. टेंसर के भागफल के नियम का उल्लेख और सिद्ध करें।
State and power quotient law of Tensors.
6.प्रथम एवं द्वितीय तरह के क्रिस्टोफर प्रतीक टेंसर मात्रा है, सिद्ध करें।
Prove whether Christoffel’s symbol of first and second kind are tensor quantity.
8. दिखाई की ऑर्थोंगोनल कार्टेशियन निर्देशक के साथ E3 में भूगर्भिक ( त्रि आयामी स्थान ) सीधी रेखाएं हैं।
Show that the Geodesics in E3 ( the three dimensional space ) with orthogonal cartesian coordinates are straight lines.
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